Question

8．如图，已知直线y₁=ax+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于C（m，n）、D（p，q）两点，连接OC、OD．
（1）若C、D两点的坐标分别为C（3，1）、D（$\frac{1}{2}$，6），利用图象求：当y₁＜y₂时，x的取值范围；
（2）若k=2，设△OCD的面积为S，求证：S=$\frac{m}{p}$-$\frac{p}{m}$．

Answer 1

分析 （1）直接根据两函数图象的交点即可得出结论；
（2）由k=2，得到y₂=$\frac{2}{x}$，于是得到n=$\frac{2}{m}$，q=$\frac{2}{p}$，过D作DE⊥OA于D，过C作CF⊥OA与F，根据△OCD的面积=四边形CDEF的面积，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）由函数图象可知，当y₁＜y₂时，x的取值范围是：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1；

（2）∵k=2，
∴y₂=$\frac{2}{x}$，
∴n=$\frac{2}{m}$，q=$\frac{2}{p}$，
过D作DE⊥OA于D，过C作CF⊥OA与F，
∵S_△DOE=S_△COF，
∴△OCD的面积=四边形CDEF的面积，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{m}$+$\frac{2}{p}$）（m-p）=$\frac{m}{p}$-$\frac{p}{m}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、图形的面积的计算，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．