Question

14．已知如图，△ABC是面积为1的正三角形，AC和BC两边上的高BE与AD相交于点A₁，延长AD到C₁，使C₁D=A₁D，连接BC₁，得△A₁BC₁，作其BC₁边上的高A₁D₁交BD于A₂，延长A₁D₁到C₂，使A₂D₁=C₂D₁，连接BC₂，得△A₂BC₂，有同样的方法得△A₃BC₃…当A_nB与AB第一次重合时，△A_nBC_n的面积是$\frac{1}{{3}^{12}}$．

Answer 1

分析 根据△ABC是面积为1的正三角形，得出△A₁BC₁的面积为$\frac{1}{3}$，进而得出△A₂BC₂的面积为$\frac{1}{9}$，以此类推解答即可．

解答 解：∵△ABC是面积为1的正三角形，AC和BC两边上的高BE与AD相交于点A₁，
∴△ABD的面积为$\frac{1}{2}$，
∴△A₁BD的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
∵延长AD到C₁，使C₁D=A₁D，连接BC₁，得△A₁BC₁，
∴△A₁BC₁的面积为$2×\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，
同理可得：△A₂BC₂的面积为$\frac{1}{9}$，
以此类推可得：△A_nBC_n的面积是$\frac{1}{{3}^{12}}$，
故答案为：$\frac{1}{{3}^{12}}$．

点评 此题考查正三角形的性质，关键是得出△A₁BC₁的面积为$\frac{1}{3}$和△A₂BC₂的面积为$\frac{1}{9}$，根据规律解答即可．