Question

9．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=7，AB⊥AC，点E在边AD上，满足$\frac{AE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，点F在AB上，满足$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{5}$，连结BE和CF相交于点G，则线段CG的长度是$\frac{10\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 延长BE，CD交于一点H，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AB∥CD，再通过相似三角形即可得到结论．

解答 解：延长BE，CD交于一点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
AD=BC=7，AB=CD=5，
∵$\frac{AE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{5}$，
∴AF=2，BF=3，AE=$\frac{14}{3}$，
∵AB⊥AC，
∴AC=$\sqrt{{BC}^{2}{-AB}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴CF=$\sqrt{{AF}^{2}{+AC}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵AD∥BC，
∴△HED∽△HBC，
∴$\frac{DH}{CH}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DH=$\frac{5}{2}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{BF}{CH}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{CF-CG}{CG}$=$\frac{3}{\frac{15}{2}}$，
∴CG=$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，
故答案为：$\frac{10\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．