Question

19．现有一组有规律的数：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$…其中1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$这六个数按此规律重复出现．
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？

Answer 1

分析 （1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；
（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（-1）+$\sqrt{2}$+（-$\sqrt{2}$）+$\sqrt{3}$+（-$\sqrt{3}$）=0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；
（3）首先求出1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．

解答 解：（1）这列数每6个数一个循环：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，
∴50÷6=8…2，
∴第50个数是-1．

（2）∵2017÷6=336…1，且1+（-1）+$\sqrt{2}$+（-$\sqrt{2}$）+$\sqrt{3}$+（-$\sqrt{3}$）=0，
∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1=1．

（3）∵1²+（-1）²+（$\sqrt{2}$）²+（-$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²+（-$\sqrt{3}$）²=12，
520÷12=43…4，而且1²+（-1）²+（$\sqrt{2}$）²=4，
∴43×6+3=261，
即共有261个数的平方相加．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，而且每个循环的6个数的和是0．