Question

4．在?ABCD中，AB=6.5，AD=4，∠D=60°，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．
（1）如图1，当点N在AB上时，求DM的长；
（1）如图2，当点M，N，B恰好在同一直线上时，求BN的长．

Answer 1

分析 （1）依据翻折的性质和平行线的性质可证明∠DAM=∠DMA，从而可得到DM=AD；
（2）先证明△ANB≌△BCM，依据全等三角形的性质可得到MC=NB，MB=AB=6.5，过点B作BE⊥DC，垂足为E，在Rt△BCE中，利用特殊锐角三角函数值可求得CE=2，BE=2$\sqrt{3}$，在Rt△MBE中，依据勾股定理可求得ME的长，最后依据NB=MC可得到问题的答案．

解答 解：（1）由翻折的性质可知：∠DAM=∠NAM．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DM∥AN，
∴∠DMA=∠NAM．
∴∠DAM=∠DMA．
∴DM=AD=4．

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠D=60°，
∴AD=BC，∠DCB=120°．
由翻折的性质可知：AD=AN，∠D=∠MNA=60°．
∴AN=BC，∠ANB=∠MCB=120°．
∵DC∥AB，
∴∠CMB=∠NBA．
在△ANB和△BCM中$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠MCB}\\{∠CMB=∠NBA}\\{AN=BC}\end{array}\right.$，
∴△ANB≌△BCM．
∴MC=NB，MB=AB=6.5．
过点B作BE⊥DC，垂足为E．

在Rt△BCE中，∠ECB=60°，BC=4，
∴CE=2，BE=2$\sqrt{3}$．
在Rt△MBE中，ME=$\sqrt{B{M}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{11}{2}$．
∴NB=MC=$\frac{11}{2}$-2=$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、翻折的性质、特殊锐角三角函数值的应用，勾股定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．