Question

如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G．
（1）求证：BF=AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写结论）
（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF：AD=4：3，求S_{四边形MNPQ}：S_{正方形ABCD}．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质就可以求出△ABF≌△DAE，就可以得出结论；
（2）根据正方形的性质就可以求出△ABF≌△DAE就可以得出BF=AE；
（3）根据条件可以设AF=4a，AD=3a，就可以求出DF=CE=a，由勾股定理就可以求出AE，由中位线的性质就可以求出MN的值，表示出正方形MNPQ的面积，就可以求出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．
∴∠DAE+∠BAE=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠GBA=90°，
∴∠DAE=∠ABG．
在△ABF和△DAE中，

∠DAB=∠ADC AB=DA ∠ABG=∠DAE

，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE；

（2）结论成立　即AE=BF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．
∴∠DAE+∠BAE=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠GBA=90°，
∴∠DAE=∠ABG．
在△ABF和△DAE中，

∠DAB=∠ADC AB=DA ∠ABG=∠DAE

，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE；

（3）∵AF：AD=4：3，设AF=4a，AD=3a，
∴DF=a．
∵△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∴AF-AD=DE-DC，
∴DF=CE，
∴CE=a．
∵点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，
∴MN是△AEF的中位线，MQ是△ABF的中位线，
∴MN=

1

2

AE，MN∥AE，MQ=

1

2

BF，MQ∥BF．
∴MN=MQ．∠MNP=∠NPQ=∠PQM=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF=5a．
∴MN=MQ=

5

2

a．
∴S_{四边形MNPQ}=

25

4

a2．
∵S_{正方形ABCD}=9a²，
∴S_{四边形MNPQ}：S_{正方形ABCD}=

25

4

a2：9a²=25：36．
答：S_{四边形MNPQ}：S_{正方形ABCD}=25：36．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，证明三角形全等和运用三角形的中位线的性质是关键．