Question

18．等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{3}{4}$，一边长为12，则等腰三角形的面积为$27\sqrt{7}$或$12\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①一边长腰为12，根据等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{3}{4}$，以及等腰三角形的性质得到底和高，再根据三角形面积公式即可求解；②一边长底为12，根据等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{3}{4}$，以及等腰三角形的性质得到高，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：①如图1：

一边长腰AB为12，在△ABC中，底角∠B的余弦值是$\frac{3}{4}$，
则BD=12×$\frac{3}{4}$=9，AD=$\sqrt{1{2}^{2}-{9}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
则BC=2BD=18，
则等腰三角形的面积为18×3$\sqrt{7}$÷2=$27\sqrt{7}$；
②如图2：

一边长底BC为12，
则BD=6，
在△ABC中，底角∠B的余弦值是$\frac{3}{4}$，
则AD=6÷$\frac{3}{4}$=8，AD=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
则等腰三角形的面积为12×2$\sqrt{7}$÷2=$12\sqrt{7}$．
故等腰三角形的面积为$27\sqrt{7}$或$12\sqrt{7}$．
故答案为：$27\sqrt{7}$或$12\sqrt{7}$．

点评 本题考查了解直角三角形，解题的关键是注意作底边上的高，并且利用勾股定理，要考虑两种情况．