Question

【题目】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．

【解析】

（1）结合三角形中位线的性质先证明四边形BCFE是平行四边形，再得出邻边BC=BE，则四边形BCFE是菱形；
（2）根据平行线的性质、三角形的面积公式解答即可．

（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC，BC＝2DE．

∵CF∥BE，

∴四边形BCFE是平行四边形．

∵BE＝2DE，BC＝2DE，

∴BE＝BC．

∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：①∵由（1）知，四边形BCFE是菱形，

∴BC＝FE，BC∥EF，

∴△FEC与△BEC是等底等高的两个三角形，

∴S△FEC＝S△BEC．

②∵E为AC的中点，∴△AEB与△BEC是等底同高的两个三角形，则S△AEB＝S△BEC．

③∵D为AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC＝S△ABC，又S△BEC＝S△ABC，则S△ADC＝S△BDC＝S△BEC．

综上所述，与△BEC面积相等的三角形有：△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．