Question

如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是

AB

上的一点，且BC=2，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求线段OD、DE的长；
（2）求线段OE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理

专题：计算题

分析：（1）连结AB，如图1，根据垂径定理，由OD⊥BC得到BD=

1

2

BC=1，再在Rt△OBD中，利用勾股定理可计算出OD=2

6

，然后证明DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线性质得到DE=

1

2

AB，接着证明△AOB为等腰直角三角形得到AB=

2

OB=5

2

，所以DE=

5 2

2

；
（2）作DH⊥OE，连结OC，如图2先证明∠2+∠3=45°，得到△ODH为等腰直角三角形，则OH=DH=

2

2

OD=2

3

，再在Rt△DHE中，利用勾股定理计算出HE=

2

2

，然后由OE=OH+HE计算即可．

解答：解：（1）连结AB，如图1，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，
在Rt△OBD中，∵BD=1，OB=5，
∴OD=

OB2-BD2

=2

6

，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

AB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=

2

OB=5

2

，
∴DE=

5 2

2

；
即线段OD、DE的长分别为2

6

，

5 2

2

；
（2）作DH⊥OE，连结OC，如图2，
∵OC=OB，OD垂直平分BC，
∴OD平分∠BOC，即∠3=∠4，
同理可得∠1=∠2，
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∴△ODH为等腰直角三角形，
∴OH=DH=

2

2

OD=

2

2

•2

6

=2

3

，
在Rt△DHE中，∵DH=2

3

，DE=

5 2

2

，
∴HE=

DE2-DH2

=

2

2

，
∴OE=OH+HE=2

3

+

2

2

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和三角形中位线定理．