Question

【题目】如图，四边形OABC中，．OA=OC， BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作☉O

(1)求证：BC是☉O的切线:

(2)连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与此的延长线交于点F若．

①补全图形；

②求证：OF=OB．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析（2）①图见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；

（2）①根据题意画出图形；

②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．

（1）证明：如图1，连接AC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∴∠OAC＋∠BCA＝∠OCA＋∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，

∴OC⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）①解：补全图形如图2；

②证明：∵∠OAB＝90°，

∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，

∴BA＝BC，

∵BA＝BC，OA＝OC，

∴BD是AC的垂直平分线，

∴，

∵，

∴=,

∴∠AOC＝120°，

∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，

∴∠OBF＝∠F＝30°，

∴OF＝OB．