Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，AE=10，cosA=$\frac{5}{13}$．
（1）求AC，CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADE中先利用余弦的定义计算出AD=26，再利用勾股定理计算出DE=24，接着根据角平分线的性质得CD=ED=24，则AC=AD+CD=50；
（2）先在Rt△ADE中，计算出tanA=$\frac{24}{10}$=$\frac{12}{5}$，则在Rt△ABC中，利用正切可求出BC=120，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义求tan∠DBC．

解答 解：（1）在Rt△ADE中，∵cosA=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{5}{13}$，
∴AD=$\frac{13}{5}$AE=26，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{2{6}^{2}-1{0}^{2}}$=24，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD=ED=24，
∴AC=AD+CD=26+24=50；
（2）在Rt△ADE中，tanA=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{24}{10}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△ABC中，∵tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$，
∴BC=120，
在Rt△BDC中，tan∠DBC=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{24}{120}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了角平分线的性质和勾股定理．