Question

9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BE于点F，根据AB=2，∠A=60°可求出BE的长及∠CNF的度数，再由圆内接四边形的性质得出∠D=90°，由此可得出四边形CDEF是矩形，进而可得出EF的长，由BF=BE-EF可得出BF的长，根据锐角三角函数的定义可得出BC的长．

解答 解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BE于点F，
∵AB=2，∠A=60°，
∴∠ABE=30°，BE=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵∠B=90°，
∴∠CBE=∠B-∠ABE=90°-30°=60°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠B=90°，
∴∠D=180°-90°=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF=CD=1，
∴BF=BE-1=$\sqrt{3}$-1．
∵∠CBE=60°，
∴BC=$\frac{BF}{cos60°}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．