Question

14．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE=DF．
（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？
（3）若四边形AECF是矩形，则四边形ABCD是矩形吗？不必写出理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OE=OF，再证出OB=OD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出结论；
（3）由矩形的性质得出OA=OC=OE=OF，证出OB=OD，AC＜BD，得出四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．

解答 （1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∵BE=DF，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形； 
（2）解：理由如下：
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
由（1）知，四边形ABCD是平行四边形；
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：四边形ABCD不是矩形；理由如下：
∵四边形AECF是矩形，
∴OA=OC，OE=OF，AC=EF，
∴OA=OC=OE=OF，
∵BE=DF，
∴OB=OD，
∴AC＜BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、矩形的性质；熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的性质、并能进行推理论证是解决问题的关键．