Question

4．如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．
（1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据中点的性质，可得AE与EF的关系，根据平行的性质，可得内错角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得CF与DA的关系，根据等量代换，可得答案；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BFCD的形状，根据直角三角形的性质，可得BD=CD，根据菱形的判定，可得答案；

解答 （1）证明∵AE是DC边上的中线，
∴AE=FE，
∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE．
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CFE}\\{∠DAE=∠CFE}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF=DA．
（2）∵CD是△ABC的中线，
∴D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴BD=CF，
∵AB∥CF，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形．

点评 本题考查了四边形综合题，（1）利用了全等三角形的判定与性质，（2）利用了直角三角形的性质，菱形的判定分析．