Question

7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，AD∥BC，连接OD、AC．若tanB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OD=3$\sqrt{6}$，则⊙O的半径为3．

Answer 1

分析 由已知条件和圆周角定理易证△CAB∽△DAC，由AC：BC的值可设AC=$\sqrt{5}$k，则BC=2k，由勾股定理可得AB=3k，继而表示出DC的长，然后由勾股定理建立关于k的方程，解方程即可得到问题答案．

解答 证明：连结OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠B=90°，
∵∠DCA=∠B，
∴∠3+∠2=90°，
∵AD∥BC，AB是⊙O的直径，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠B=∠3，
∴△CAB∽△DAC，
∴$\frac{AC}{DA}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{AB}{DC}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴设AC=$\sqrt{5}$k，BC=2k，则AB=3k，
∴$\frac{3k}{DC}$=$\frac{2k}{\sqrt{5}k}$，
∴DC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k，
在△ODC中，OD=3 $\sqrt{6}$，OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$k，
∴（3 $\sqrt{6}$）²=（ $\frac{3}{2}$k）²+（ $\frac{3\sqrt{5}}{2}$k）²，
∴解得：k=2，
∴AB=3k=6，
∴⊙O的半径为3．
故答案为3．

点评 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．