Question

11．数学活动--探究特殊的平行四边形．
问题情境?
如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB=AD，BC=DC．请你添加条件，使它们成为特殊的平行四边形．
提出问题
（1）第一小组添加的条件是“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形．请你证明；
（2）第二小组添加的条件是“∠B=90°，∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形．请你证明．

Answer 1

分析 （1）先根据SSS定理得出△ABC≌△ADC，故可得出∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．再由AB∥CD可得出∠BAC=∠DCA，根据等边对等角可得出四边形的四条边均相等，进而可得出结论；
（2）根据△ABC≌△ADC得出∠D=∠B，再由∠BCD=90°得出四边形ABCD是矩形，根据BC=DC可得出结论．

解答 （1）证明：在△ABC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BC=DC\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC，
∴AB=BC，DA=DC．
∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：在△ABC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BC=DC\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠D=∠B．
∵∠B=90°，
∴∠D=∠B=90°．
∵∠D=∠B=90°，
∵∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∵BC=DC，
∴矩形ABCD是正方形．

点评 本题考查的是菱形的判定，涉及到全等三角形的判定与性质、矩形及正方形的判定等知识，难度适中．