Question

3．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为（1，-3），且抛物线经过点A（-1，0），与x轴交于另一点B，与y轴交与点C．
（1）求这条抛物线的函数关系式及点B、C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知在对称轴上存在一点M，使得△AMC的周长最小，请直接写出点M的坐标（1，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）²-3，再把点A的坐标代入求出a的值，即可得解，令y=0，解关于x的一元二次方程即可求出点B的坐标，再令x=0求出y的值，从而得到点C的坐标；
（2）分①点P在BC的上方，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，求出△BOC和△PEB相似，根据相似三角形对应边成比例求出PE的长，然后写出点P的坐标；②点P在BC的下方，过点P作PD⊥y轴于D，求出△BOC和△CDP相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD，再求出OD，然后写出点P的坐标即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，BC与对称轴的交点即为所求的点M，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后令x=1求解即可得到点M的坐标．

解答 解：∵抛物线的顶点坐标为（1，-3），
∴设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）²-3，
∵抛物线经过点A（-1，0），
∴a（-1-1）²-3=0，
解得a=$\frac{3}{4}$，
所以，抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$（x-1）²-3，
令y=0，则$\frac{3}{4}$（x-1）²-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，点B的坐标为（3，0），
令x=0，则y=$\frac{3}{4}$（0-1）²-3=-$\frac{9}{4}$，
所以，点C的坐标为（0，-$\frac{9}{4}$）；

（2）∵B（3，0），C（0，-$\frac{9}{4}$），
∴OB=3，OC=$\frac{9}{4}$，
如图，①点P在BC的上方，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，
则BE=3-1=2，
∵∠PBE+∠OBC=90°，
∠P+∠PBE=90°，
∴∠P=∠OBC，
又∵∠PEB=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△PEB，
∴$\frac{PE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$，
即$\frac{PE}{3}$=$\frac{2}{\frac{9}{4}}$，
解得PE=$\frac{8}{3}$，
所以，点P的坐标为（1，$\frac{8}{3}$）；
②点P在BC的下方，过点P作PD⊥y轴于D，
∵∠PCD+∠OCB=90°，
∠PCD+∠P=90°，
∴∠OCB=∠P，
又∵∠COB=∠PDC=90°，
∴△BOC∽△CDP，
∴$\frac{CD}{OB}$=$\frac{PD}{OC}$，
即$\frac{CD}{3}$=$\frac{1}{\frac{9}{4}}$，
解得CD=$\frac{4}{3}$，
所以，OD=$\frac{9}{4}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{43}{12}$，
所以，点P的坐标为（1，-$\frac{43}{12}$），
综上所述，点P的坐标为（1，$\frac{8}{3}$）或（1，-$\frac{43}{12}$）；

（3）由轴对称确定最短路线问题可知BC与对称轴的交点即为所求的点M，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
所以，y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$，
x=1时，y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{2}$，
所以，点M的坐标为（1，-$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（1，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称确定最短路线问题，难点在于（2）要分类讨论．