Question

12．如图1，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$分别与x轴、y轴交于点M，N．Rt△ABC的顶点B与原点O重合，BC在x轴正半轴上，BC=1，∠ABC=60°．将△ABC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点B与点M重合时，△ABC停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当点A落在直线MN上时，求t的值；
（2）在（1）基础上，△ABC继续平移，AB，AC分别交线段MN于点E，F（如图2）．
①t为何值时，S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
②若当点A刚好落在直线MN上时，动点P同时从顶点B出发，以每秒$\frac{1}{2}$个单位长度的速度沿B→A运动，△ABC停止平移时，点P随之停止．则在点P运动的过程中，是否存在某一时刻，△PEF与△MON相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式易求ON、OM的值，以及∠NMO=30°，在Rt△ABC中，根据∠NMO=30°，可得BM=2AB，由BM=6-t，AB=2，可求得t的值；
（2）①根据BM=6-t，AB⊥NM，分别表示出BE、AE、EF的长度，然后根据S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，代入三角形的面积公式，求出t的值；
②根据图形可得，分别表示出当2≤t≤4时，即当点P在BE上，当4≤t≤6时，即当点P在AE上时PE的长度，然后根据角度的不同分情况，求出t的值．

解答 解：（1）根据函数解析式易求ON=2$\sqrt{3}$，OM=6，∠NMO=30°，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=1，
∴AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
当点A在MN上时，
∵∠ABC=60°，∠NMO=30°，
∴AB⊥NM，
∴BM=2AB，
由BM=6-t，AB=2，
可得6-t=4，
解得：t=2；

（2）①如图2，
∵BM=6-t，AB⊥NM，
∴BE=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$（6-t）=3-$\frac{1}{2}$t，
∴AE=AB-BE=2-（3-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t-1，
∴EF=AE•tan30°=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴（$\frac{1}{2}$t-1）×$\frac{\frac{1}{2}t-1}{\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t₁=2+$\sqrt{6}$，t₂=2-$\sqrt{6}$（不合题意，舍去）；
②PE=3-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$（t-2）=4-t（2≤t≤4），
或PE=$\frac{1}{2}$（t-2）-（3-$\frac{1}{2}$t）=t-4（4≤t≤6），
要使△PEF与△OMN相似，
即△PEF为含有30°的直角三角形，而∠PEF始终为直角．
（i）当点P在BE上，即当2≤t≤4时，
若∠PFE=30°，
则$\sqrt{3}$（4-t）=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$，
解得：t=$\frac{26}{7}$；
若∠EPF=30°，
则4-t=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$×$\sqrt{3}$，
解得：t=$\frac{10}{3}$；
（ii）当点P在AE上，即当4≤t≤6时，
若∠PFE=30°，
则$\sqrt{3}$（t-4）=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$，
解得：t=$\frac{22}{5}$；
若∠EPF=30°，
则t-4=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$×$\sqrt{3}$，
解得：t=6；
而当t=6时，点P和点A重合，AC与线段MN没有交点，
所以t=6不合题意舍去，
综上所述，当t₁=$\frac{26}{7}$，t₂=$\frac{10}{3}$，t₃=$\frac{22}{5}$时，△PEF与△MON相似．

点评 此题考查了一次函数的综合应用，涉及到含30度角的直角三角形、三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加了一定的难度，此题属于难题．