Question

7．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AB=8，BC=4，
（1）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
（2）若点M在AB边上，平面内是否存在点N，使以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由轴对称的性质可知点F的坐标为（4，2），然后求得直线AC的解析式为y=$-\frac{1}{2}x+4$，设直线DE的解析式为y=2x+b，根据点F的坐标为（4，2）可求得直线DE的解析式；
（2）由直线DE的解析式可求得点D的坐标，从而可知DC=5，由菱形的性质可知DM=5，从而可确定出点M的位置，然后再根据点M的位置可求得点N的位置．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AO=BC=4，OC=AB=8，
∴A（0，4），C（8，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，
∴DE⊥AC，AF=CF，
∴F（4，2），
设直线DE的解析式为：y=2x+n，
∴2=2×4+n，
∴n=-6，
∴直线DE的解析式为：y=2x-6；
（2）存在．
将y=0代入y=2x-6得：2x-6=0，解得：x=3
∴点D的坐标为（3，0）．
∴DC=OC-OD=8-3=5．
如图所示：

∵C、D、M、N为顶点的四边形是菱形，
∴MD=MN=5．
过点D作DG⊥AB，则GD=OA=4，OD=M₁G．
①当点M位于点M₁处时，在Rt△M₁DG中，M₁G=$\sqrt{{M}_{1}{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴点M₁的坐标为（0，4），
∵M₁N₁=5，
∴点N₁的坐标为（5，4）；
②当点M位于点M₂处时，在Rt△M₂DG中，M₂G=$\sqrt{{M}_{2}{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴点M₂的坐标为（6，4），
∵M₂N₂=5，
∴点N₂的坐标为（11，4）．
综上所述，当点N的坐标为（5，4）或（11，4）时，能够使的四边形C、D、M、N为菱形．

点评 本题主要考查的是二次函数和四边形的综合应用，求得点D的坐标，得到DM的长度，从而确定出点M的位置是解题的关键．