Question

17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=a（a＞0），∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB垂足为E，则△DEB的周长等于a．

Answer 1

分析 先利用AAS判定△ACD≌△AED得出AC=AE，CD=DE；再对构成△DEB的几条边进行变换，可得到其周长等于AB的长．

解答 解：∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90，
在△ACD与△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠C=∠AED=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴DE=BE，
∵AC=BC，AB=a，
∴2BC²=AB²，即BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴BE=AB-AE=AB-AC=a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴BC+BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=a
∵△DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=a，
故答案为：a．

点评 本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．