Question

11．已知抛物线y=x²-（2m+1）x+m²+m-2（m是常数）．
（1）求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若抛物线与x轴两交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＞x₂），且AB=1+$\frac{m+1}{m-1}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行证明；
（2）利用求根公式方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0得x₁=m+2，x₂=m-1，则AB=|x₁-x₂|=3，然后解方程1+$\frac{m+1}{m-1}$=3即可．

解答 （1）证明：∵△=（2m+1）²-4（m²+m-2）
=9＞0，
∴无论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0得x₁=m+2，x₂=m-1，
∵AB=|x₁-x₂|=3
∵AB=1+$\frac{m+1}{m-1}$，
∴1+$\frac{m+1}{m-1}$=3，解得m=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴m的值为4．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．