Question

7．数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：
已知四边形ABCD与BEFG都为正方形，P为DF的中点，连接AP，EP，如图1，当点F与点C重合时，求证：AP=PE，AP⊥PE．
独立思考：请你证明老师提出的问题；
合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形BEFG绕点B逆时针旋转，当F落在BD上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．
“翱翔”小组的认识是否正确？请说明理由．
发现问题：解决完上述问题后，如图（3），老师将正方形BEFG在图1的基础上绕点B旋转角度α（0°＜α＜360°），让同学们写出有关△APE的正确结论．“兴趣”小组的同学们写出了两个正确结论：①△APE为等腰直角三角形；②△APE的面积存在最小值．
学习任务：
①若BE=1，AB=$\sqrt{2}$，请你写出△APE面积的最小值为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$（不要求进行说理）；
②请你再写出一个有关△APE的正确结论：答案不唯一，如：在①的条件下，△APE的面积存在最大值，最大面积为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 独立思考：做出辅助线得到正方形，再判断出△ADP≌△PHE，即可；
合作交流：先判断出EH=HC，再判断出△ADP≌△CDP即可；
发现问题：①先判断出点E在边AB上时，AE最小，最后用等腰直角三角形的面积公式即可；
②先判断出AE越大，S_△APE要越大，即点E在AB的延长线上时，AE最大，最后用等腰直角三角形的面积公式即可

解答 独立思考
证明：如图1，

过点E作EH⊥DC，垂足为H，作EQ⊥BC，垂足为Q．
∵∠QEH=∠EHC=∠QCH=90°，
∴四边形QEHC为矩形．
又∵EQ=BQ=CQ
∴四边形QEHC为正方形，
∴EH=CQ=$\frac{1}{2}$BC．
又∵P为CD中点，DP=$\frac{1}{2}$DC；
∴DP=PC=CH=EH．
∴AD=PH．
又∵∠EHP=∠PDA=90°，
∴△ADP≌△PHE．
∴AP=PE，∠EPH=∠PAD．
∵∠PAD+∠APD=90°，
∴∠APD+EPH=90°．
∴AP⊥PE．
合作交流：“翱翔”小组的认识是正确的．
理由如下：如图2，

过点P作PH⊥BC于点H，并且交AD于点Q，则PQ⊥AD．
∴四边形QHCD是矩形，HQ∥CD．
连接PE，PC．
∵FE∥PH∥DC，
∴$\frac{FP}{PD}=\frac{EH}{CH}$．
∵FP=PD，
∴EH=HC．
∴PE=PC，∠EPH=∠HPC．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADP=∠CDP=45°．
又∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP．
∴AP=PC，∠PAQ=∠PCD．
∴AP=PE，
又∵∠HPC=∠PCD，
∴∠PAQ=∠EPH．
∵∠PAQ+∠APQ=90°，
∴∠EPH+∠APQ=90°．
∴AP⊥PE．
发现问题：如图3，
∵△APE为等腰直角三角形，且AP⊥DE，
∴斜边AE越小，S_△APE要越小，

∴点E在边AB上时，AE最小，
∵AB=$\sqrt{2}$，BE=1，
∴AE=AB-BE=$\sqrt{2}$-1
∴S_△APE最小值为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$-1）²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．
故答案为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．
②结论不唯一，如：在①的条件下，△APE的面积存在最大值，最大面积为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$
理由：如图4，

∵△APE为等腰直角三角形，且AP⊥DE，
∴AE越大，S_△APE要越大，
∴点E在AB的延长线上时，AE最大，
∵AB=$\sqrt{2}$，BE=1，
∴AE=AB+BE=$\sqrt{2}$+1
∴S_△APE最小值为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+1）²=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：答案不唯一，如：在①的条件下，△APE的面积存在最大值，最大面积为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，极值问题，解本题的关键是做出辅助线．