Question

4．如图，在⊙O中，半径OA长为1，弦BC∥OA，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的⊙D交BC延长线于点E．
（1）若BC=$\frac{8}{5}$，求⊙O与⊙D公共弦的长；
（2）当△ODA为等腰三角形时，求BC的长；
（3）设BC=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交⊙O于G，连接OC、CG交OA于H．首先证明OH是三角形中位线，根据△GCN∽△GOH，可得$\frac{CN}{OH}$=$\frac{CG}{OG}$，由此求出相关线段即可解决问题；
（2）只要证明△OCA∽△DCO，设AC=x，则有OC²=CA•CD，可得1=x（x+1），即可解决问题；
（3）首先证明BD=BE，再利用平行线的性质求出DG即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交⊙O于G，连接OC、CG交OA于H．

∵BG是直径，
∴∠BCG=90°，
∵BC∥OA，
∴∠OHG=∠BCG=90°，
∴OA⊥CG，
∴CH=HG，
∵CM⊥BD，
∴∠ONK=∠CHK=90°，∵∠OKN=∠CKH，
∴∠KON=∠KCH，
∵OG=OB，CH=HG，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{4}{5}$，
∵OC=1，
∴CH=HG=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠OGH=∠CGN，∠GCN=∠GOH，
∴△GCN∽△GOH，
∴$\frac{CN}{OH}$=$\frac{CG}{OG}$，
∴$\frac{CN}{\frac{4}{5}}$=$\frac{\frac{6}{5}}{1}$，
∴CN=$\frac{24}{25}$，
∴CM=2CN=$\frac{48}{25}$．

（2）如图2中，

当△OAD是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA=AD，
∴∠AOD=∠ADO=∠COA，
∵∠OCA=∠OCD，
∴△OCA∽△DCO，设AC=x，
则有OC²=CA•CD，
∴1=x（x+1），
∴x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴CD=CA+AD=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∵OA∥BC，
∴∠AOD=∠B=∠ODA，
∴BC=CD=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

（3）如图3中，作DN⊥CE于N．

∵DC=DE，
∴∠DCE=∠E，
∵BC∥OA，
∴∠OAC=∠DCE=∠OCA，
∴∠AOC=∠CDE=∠B，
∴∠E=∠BDE，
∴BE=BD，
∵CG⊥BE，DN⊥BE，
∴CG∥DN，
∴$\frac{BG}{GD}$=$\frac{BC}{CN}$，
∴$\frac{2}{DG}$=$\frac{x}{\frac{y}{2}}$，
∴DG=$\frac{y}{x}$，
∵BD=BE，
∴2+$\frac{y}{x}$=x+y，
∴y=$\frac{2x-{x}^{2}}{x-1}$（1＜x＜2）

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．