Question

3．阅读下面问题：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{\sqrt{5}-2}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$$\sqrt{5}$-2，…．
试求：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$  
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$
  （3）根据你发现的规律，请计算：
（$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}+2}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}}$）×（1+$\sqrt{2017}$）的值．

Answer 1

分析 （1）（2）根据平方差公式把分母有理化即可求解；
（3）先分母有理化，再抵消法计算，再根据平方差公式计算即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$  
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$
=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
  （3）（$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}+2}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}}$）×（1+$\sqrt{2017}$）
=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2016}$）×（1+$\sqrt{2017}$）
=（$\sqrt{2017}$-1）×（1+$\sqrt{2017}$）
=2017-1
=2016．
故答案为：（1）$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$； （2）$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

点评 考查了分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．