Question

【折纸活动】
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图③中所示的AD处．

第四步，…
【问题解决】
（1）求图③中

AB

BC

=

 

；
（2）在图③中证明四边形ABQD是菱形；
（3）请在图②中再折一次，折出一个30°角，请结合图②，示意折法，并说明理由．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）利用正方形的性质以及勾股定理得出

AB

BC

的值即可；
（2）利用翻折变换的性质以及平行四边形的判定得出即可；
（3）利用将正方形的边CN沿CG折，使点N落在AF上（点H），由平行线等分线段定理，得出GI=CI，进而得出∠NCG=∠GCH=∠BCH=30°．

解答：解：（1）由题意得：设AC=x则BC=2x，故AB=

5

x，
则

AB

BC

=

5 x

2x

=

5

2

；
故答案为：

5

2

；

（2）由翻折知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，
∵BQ∥AD
∴∠BQA=∠DAQ．
∴∠BQA=∠BAQ．
∴BA=BQ．
∴AD=BQ．
∴四边形ADQB是平行四边形．
∴平行四边形ADQB是菱形（一组邻边相等的平行四边形为菱形）；

（3）如图，

将正方形的边CN沿CG折，使点N落在AF上（点H），此时∠NCG=∠GCH=∠BCH=30°．
（注：方法不惟一，注意阅读学生操作方法；但是尺规作图获得的30°不给分）
理由如下：
设CG交AF于点I，由平行线等分线段定理，
∵MN∥AF∥BC，且NA=CA，
∴GI=CI．
∴在Rt△GHC中，GI=CI=HI．
∴∠IHC=∠ICH．
又∠ICA=∠ICH．∠IHC=∠BCH．
∴∠ICA=∠ICH=∠BCH=30°．
（注：注意学生不同证法，只要推理正确均给分，淡化形式）

点评：此题主要考查了几何变换以及翻折变换的性质以及正方形的性质和勾股定理等知识，熟练利用勾股定理以及翻折变换的性质是解题关键．