题目内容
已知：抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，1），且对于任意的实数x，有4x-4≤ax2+bx+c≤2x2-4x+4恒成立．
（1）求4a+2b+c的值；
（2）已知点B（0，2），设点M（x，y）是抛物线上任一点，求线段MB的长度的最小值．
（1）求4a+2b+c的值；
（2）已知点B（0，2），设点M（x，y）是抛物线上任一点，求线段MB的长度的最小值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）由4x-4≤ax2+bx+c≤2x2-4x+4，得出当x=2时4a+2b+c=4．
（2）由y=ax2+bx+c图象经过（-1，1），得出a，b，c的关系式．再由直线y=4x-4与抛物线y=ax2+bx+c至多只有一个交点，得出a，b，c的值．由x2≤2x2-4x+4，运用勾股定理得出MB2的关系式，即可求出线段MB的长度的最小值．
（2）由y=ax2+bx+c图象经过（-1，1），得出a，b，c的关系式．再由直线y=4x-4与抛物线y=ax2+bx+c至多只有一个交点，得出a，b，c的值．由x2≤2x2-4x+4，运用勾股定理得出MB2的关系式，即可求出线段MB的长度的最小值．
解答：解：（1）∵4x-4≤ax2+bx+c≤2x2-4x+4，对任意的实数x都成立，
∴当x=2时，有4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4，①
（2）∵y=ax2+bx+c图象经过（-1，1），
∴a-b+c=1，②
由①，②可得，b=1-a，c=2-2a，
∵4x-4≤ax2+bx+c对任意的实数x都成立，
∴直线y=4x-4与抛物线y=ax2+bx+c至多只有一个交点，
方程ax2+bx+c=4x-4中，△=（b-4）2-4a（c+4）≤0，
把b=1-a，c=2-2a 代入得：9（a-1）2≤0
∴a=1，b=0，c=0，
即抛物线解析式为y=x2．
∵ax2+bx+c≤2x2-4x+4
∴x2≤2x2-4x+4，
由下图可知，MB2=x2+（y-2）2=x2+（x2-2）2，
令x2=m，MB2=m+（m-2）2=m2-3m+4=（m-
）2+
，
∴当m=
时，线段MB的长度的最小值MB=
，此时x=±
．
∴线段MB的长度的最小值MB=
．
∴当x=2时，有4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4，①
（2）∵y=ax2+bx+c图象经过（-1，1），
∴a-b+c=1，②
由①，②可得，b=1-a，c=2-2a，
∵4x-4≤ax2+bx+c对任意的实数x都成立，
∴直线y=4x-4与抛物线y=ax2+bx+c至多只有一个交点，
方程ax2+bx+c=4x-4中，△=（b-4）2-4a（c+4）≤0，
把b=1-a，c=2-2a 代入得：9（a-1）2≤0
∴a=1，b=0，c=0，
即抛物线解析式为y=x2．
∵ax2+bx+c≤2x2-4x+4
∴x2≤2x2-4x+4，
由下图可知，MB2=x2+（y-2）2=x2+（x2-2）2，
令x2=m，MB2=m+（m-2）2=m2-3m+4=（m-
| 3 |
| 2 |
| 7 |
| 4 |
∴当m=
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴线段MB的长度的最小值MB=
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查了二次函数综合题，涉及不等式及一元二次方程及勾股定理综合性很强，解题的关键是利用不等式的解及一元二次方程的△求出抛物线解析式．
练习册系列答案
捷径训练检测卷系列答案
小夫子全能检测系列答案
相关题目
点A的坐标是（2，8），则点A在（ ）
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2中的一个数，指针固定，转动转盘后任其自由停止，这时某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形）．