Question

（1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y=ax²+bx+c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y=ax²+bx+c的特征数，记作{a，b，c}；请求出与y轴交于点C（0，-3）的抛物线y=x²-2x+k在单同学眼中的特征数；
（2）同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y=a（x+m）²+k的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作{a，m，k}；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；
（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为{u，v，w}的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数{u，v，w}无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；
（4）在直角坐标系xOy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），请直接写出△ABC的重心坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）把C坐标代入抛物线解析式求出k的值，确定出抛物线解析式，即可得出抛物线在单同学眼中的特征数；
（2）把抛物线解析式化为顶点形式，确定出抛物线在尤同学眼中的特征数即可；
（3）把抛物线解析式化为顶点形式，要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，必须满足

b= b 2a c=c- b2 4a

，得到b=0，即可得出董和谐的表述；
（4）找出AB的中点，求出AB边中线方程，同理求出AC边中线方程，联立求出重心坐标即可．

解答：解：（1）把C（0，-3）代入抛物线解析式得：k=-3，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
则该抛物线在单同学眼中的特征数为{1，-2，-3}；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴上述抛物线在尤同学眼中的特征数为{1，-1，-4}；
（3）y=ax²+bx+c=a（x+

b

2a

）²+c-

b2

4a

，
要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，
必须满足

b= b 2a c=c- b2 4a

，即b=0，
∵y=（x-1）²-4可以看做y=x²-4沿平行于x轴方向向右平移1个单位而成，
∴董和谐的表述为：特征数{1，0，-4}的抛物线沿平行于x轴方向向右平移1个单位的图象；
（4）对于抛物线解析式y=x²-2x-3，
令y=0，得到x²-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x=3或x=-1，即A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴线段AB中点坐标为（1，0），AB边的中线方程为y=

-3-0

0-1

（x-1）=3（x-1）=3x-3；
∵AC边中点坐标为（-

1

2

，-

3

2

），AC边的中线方程为y=

- 3 2 -0

- 1 2 -3

（x-3）=

3

7

（x-3）=

3

7

x-

9

7

，
联立得：

y=3x-3 y= 3 7 x- 9 7

，
解得：

x= 2 3 y=-1

，
则△ABC的重心坐标为（

2

3

，-1）．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，线段中点坐标公式，直线的点斜式方程，以及新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．