Question

如图，在正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当AQ=

 

AC时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

8

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的四条边都相等，对角线平分一组对角，可得AB=AD，∠DAQ=∠BAQ，而AQ是△ADQ和△ABQ的公共边，所以两三角形全等；
（1）如图，过点Q作QH⊥AD于点H．根据三角形的面积公式可以求得QH=

1

4

AD．然后由平行线分线段成比例求得AQ与AC的比值．

解答：（1）证明：在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB  ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）如图，过点Q作QH⊥AD于点H．则QH∥CD．
∴

HQ

CD

=

AQ

AC

．
又∵△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

8

，
∴

1

2

AD•QH=

1

8

×AD•CD，
∴QH=

1

4

AD，
∴

QH

AD

=

QH

CD

=

1

4

∴

HQ

CD

=

AQ

AC

=

1

4

，即AQ=

1

4

AC．
故答案是：

1

4

．

点评：本题综合考查了正方形的边与角平分线的性质，三角形全等的判定，勾股定理的运用以及平行线分线段成比例定理，对同学们能力要求较高．