Question

如图，△BOA是边长为2的等边三角形，OC=AC，∠OCA=120°，点M在OB边上，连接CM，将CM绕点C顺时针方向旋转60°，交AB于点N，连接MN，则△BMN的周长是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：由旋转可知CM=CN，结合条件可证明△OMC≌△ANC，可证明△AMN为等边三角形，且可求得OM的长，可求得答案．

解答：解：∵OC=AC，∠OCA=120°，
∴∠COA=∠CAO=30°，
又∵△BOA为等边三角形，
∴∠BOA=∠BAO=60°，
∴∠MOC=∠NAC=90°，
在Rt△OCM和Rt△ACN中，

CM=CN OC=OA

，
∴△OCM≌△ACN（HL），
∴OM=AN，∠MCO=NCA=30°，
∴BM=BN，
∴△AMN为等边三角形，
在△OAC中，OA=2，可求得OC=

2 3

3

，
在Rt△MOC中可求得OM=

2

3

，
∴BM=BO-OM=2-

2

3

=

4

3

，
∴△BMN的周长为4．
故答案为：4．

点评：本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定和性质，利用旋转的性质判断出△BMN为等边三角形是解题的关键，注意勾股定理的应用．