Question

19．如图，一观测塔底座部分是四棱柱，现在从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M、N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB=BC=CD=3米，高AA′=9米，问点M、N位于什么位置，才能使扶梯的总长度最小，从而造价最低？

Answer 1

分析 先将底座部分的侧面展开，然后根据两点之间线段最短找出最短路径，最后由BB′∥CC′∥DD′列出比例求解即可．

解答 解：将四棱锥的侧面展开，连接AD′．

∵塔底座部分是四棱柱，
∴BB′∥CC′∥DD′．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BM}{DD′}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{AC}{AD}=\frac{CN}{DD′}=\frac{2}{3}$．
∴BM=$\frac{1}{3}D′D=\frac{1}{3}BB′$，CN=$\frac{2}{3}DD′=\frac{2}{3}CC′$．

点评 本题主要考查的是平面展开路径最短问题，将底座部分的侧面展开，AD′之间的最短路径是解题的关键．