Question

如图，在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD=3，作△ABC的高AE交CB的延长线于点E，且AE与BC的长是方程组

5x+5y=10m-1 10x-5y=5m-2

的解．已知S_△ABC=

12

5

m（m≠0），求△ABC的周长．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,解二元一次方程组

专题：

分析：先由等腰三角形三线合一的性质得出AC=2AD=6，再解方程组

5x+5y=10m-1 10x-5y=5m-2

，求得

x=m- 1 5 y=m

，那么S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

（m-

1

5

）•m，而S_△ABC=

12

5

m，得出方程

1

2

（m-

1

5

）•m=

12

5

m，由m≠0，得出m=5，然后分BC=m-

1

5

=

24

5

或BC=m=5，两种情况进行讨论即可．

解答：解：∵在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD=3，
∴AC=2AD=6．
解方程组

5x+5y=10m-1 10x-5y=5m-2

得

x=m- 1 5 y=m

．
∵S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

（m-

1

5

）•m，
∴

1

2

（m-

1

5

）•m=

12

5

m，
∵m≠0，
∴m=5，
如果BC=m-

1

5

=

24

5

，
∵

24

5

，

24

5

，6能够组成三角形，
∴△ABC的周长=

24

5

+

24

5

+6=

78

5

；
如果BC=m=5，
∵5，5，6能够组成三角形，
∴△ABC的周长=5+5+6=16．
故△ABC的周长为

78

5

或16．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，三角形的面积，正确求出m的值进而分类讨论是解题的关键．