Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=10，点P是边AB上任意一点，连接PC，∠CPB的平分线交BC于点D，过点D分别作PC、PB的垂线，垂足分别为点E、F，当△CED与△BDF相似时，AP的长为$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AB=5$\sqrt{5}$，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据全等三角形的性质得到∠PDF=∠PDE，当△CED与△BDF相似，∠BDF=∠CDE时，根据等腰三角形和直角三角形的性质得到PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，当△CED与△BDF相似，∠B=∠CDE时，推出DE∥AB，得到PC⊥AB，根据相似三角形的性质得到PA=$\sqrt{5}$，

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=10，
∴AB=5$\sqrt{5}$，
∵PD平分∠BPC，DF⊥PB，DE⊥PC，
∴DE=DF，
在Rt△PDF与Rt△PDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴Rt△PDF≌Rt△PDE，
∴∠PDF=∠PDE，
当△CED与△BDF相似，∠BDF=∠CDE时，
∴∠BDP=∠CDP=90°，
∴PD⊥BC，
∴PC=PB，
∵∠B+∠A=∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠A=∠PCA，
∴PC=PA，
∴PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
当△CED与△BDF相似，∠B=∠CDE时，
∴DE∥AB，
∴PC⊥AB，
∴△ACP∽△ACB，
∴$\frac{AC}{PA}=\frac{AB}{AC}$，
∴PA=$\sqrt{5}$，
∴当△CED与△BDF相似时，AP的长为$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，熟练正确相似三角形的性质是解题的关键．