Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴上方，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）或（-4，3）．

Answer 1

分析 分两种情形讨论①OB为边，②OB为对角线，分别求出点N坐标即可．

解答 解：如图，当OB为边时，四边形OBNM是菱形，连接ON交AB于H，延长NM交OA于E，

∵$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$OH•AB，
∴OH=$\frac{24}{5}$，BH=HM=$\frac{18}{5}$，
∴AM=AB-2BH=$\frac{14}{5}$，
由EM∥OB，得到$\frac{EM}{OB}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AE}{AO}$，
∴EM=$\frac{42}{25}$，AE=$\frac{56}{25}$，
∴OE=$\frac{144}{25}$，
∴点N坐标（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），
如图当OB为对角线时，易知点N坐标（-4，3）．

综上所述以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）或（-4，3）．

点评 本题考查一次函数图象上的点坐标特征，菱形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．