Question

1．如图P（m，n）是抛物线y=$\frac{{x}^{2}}{4}$-1上任意一点，l是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
【探究】（1）填空：当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5；
【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】（3）如图2，已知线段AB=8，端点A，B在抛物线y=$\frac{{x}^{2}}{4}$-1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

Answer 1

分析 （1）m=0时，直接代入x=0，得P（0，-1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=y_P-（-2）．
（2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=$\frac{{x}^{2}}{4}$-1的点，一般可设（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$-1）．类似（1）利用勾股定理和PH=y_P-（-2）可求出OP与PH，比较即得结论．
（3）考虑（2）结论，即函数y=$\frac{{x}^{2}}{4}$-1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=8，若AB过点O，则OA+OB=AB=8，所以OA+OB≥8，即A、B两点到l距离的和≥8，进而最小值即为8．

解答 解：（1）解：如图1，

记PH与x轴交点为Q，
当m=0时，P（0，-1）．此时OP=1，PH=1．
当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，
∴OP=$\sqrt{P{Q}^{2}+O{Q}^{2}}$=5，PH=y_P-（-2）=3-（-2）=5．
故答案为：1，1；5，5；
（2）猜想：OP=PH．
证明：如图2，
∵P在二次函数y=$\frac{{x}^{2}}{4}$-1上，
∴设P（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$-1），则PQ=|$\frac{{m}^{2}}{4}$-1|，OQ=|m|，
∵△OPQ为直角三角形，
∴OP=$\sqrt{P{Q}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{m}^{2}}{4}-1）^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$+1
PH=y_p-（-2）=$（\frac{{m}^{2}}{4}-1）-（-2）=\frac{{m}^{2}}{4}+1$
∴OP=PH．
（3）解：如图2，

连接OA，OB，
过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，
此时AC即为A点到l的距离，
BD即为B点到l的距离．
①当AB不过O点时，连接OA，OB，
在△OAB中，OA+OB＞AB=8，
由上述结论得：AC=OA，BD=OB，
∴AC+BD＞8，
②当AB过O点时，AC+BD=OA+OB=AB=8，所以AC+BD的最小值为8，
即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为8．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．