Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P．
（1）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
（2）在抛物线平移的过程中，当△PMA是等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．
①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．
②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．
（2）需要分类讨论：以AP为底和以AP为腰两种情况下的等于三角形，利用两点间的距离公式进行解答即可．

解答：解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx（k≠0），
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．
①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m）．
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）²+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．

（2）由（1）知，M（m，2m）、P（2，m²-2m+4）．
当AP=MP时，|m²-2m|=

(m-2)2+(2m-m2+2m-4)2

，
整理，得m²（m-2）²=2（m-2）²．
∵A（2，4），
∴点P、M均不与点A重合，即m≠2，
解得 m=

2

或m=-

2

（舍去）；
同理，当AP=AM时，m=2，不合题意，舍去；
当AM=MP时，m=

5

．
综上所述，m的值是

2

或

5

．

点评：本题考查了一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、函数图象的交点、图形面积的求法等知识点，主要考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．