Question

9．如图1，已知：抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=$\frac{1}{2}$x-2，连结AC．
（1）B、C两点坐标分别为B（4，0）、C（0，-2），抛物线的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是$（{-\frac{b}{2a}，\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}}）$]

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数解析式和坐标轴上点的坐标特征确定C点和B点坐标，然后把C点和B点坐标代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0确定A（-1，0），再利用两点间的距离公式计算出AC²=5，BC²=20，AB²=25，然后根据勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形；
（3）分类讨论：当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与C重合，如图1，设CG=x，证明△AGD∽△ACB，利用相似比得到DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-x），根据矩形面积公式得到S_矩形DEFG=-$\frac{5}{2}$x²+$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，则利用二次函数的性质可确定x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，矩形DEFG的面积最大，最大值为$\frac{5}{8}$；当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，如图2，CO交GF于H，设DG=x，则OH=x，CH=2-x，通过证明△CGF∽△CAB，利用相似比得到GF=$\frac{5}{2}$（2-x），则S_矩形DEFG=-$\frac{5}{2}$x²+5x，则根据二次函数的性质得到x=1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为$\frac{5}{2}$，然后比较两个面积的最大值得到矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，矩形的面积最大，接下来利用相似比计算此时OD，从而得到OE的长，于是得到它们的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x-2=-2，则C（0，-2），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x-2=0，解得x=4，则B（4，0），
把B（4，0），C（0，-2）代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{8+4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
故答案为4，0，0，-2，$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x-2$；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x₁=-1，x₂=4，则A（-1，0），
∵AC²=1²+2²=5，BC²=4²+2²=20，AB²=5²=25，
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（3）能．
当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与C重合，如图1，设CG=x，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB，
∴AG：AC=DG：BC，即（$\sqrt{5}$-x）：$\sqrt{5}$=DG：2$\sqrt{5}$，解得DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-x），
∴S_矩形DEFG=x•$\frac{5}{2}$（$\sqrt{5}$-x）=-$\frac{5}{2}$x²+$\frac{\sqrt{5}}{2}$x=-$\frac{5}{2}$（x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²+$\frac{5}{8}$，
此时x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，矩形DEFG的面积最大，最大值为$\frac{5}{8}$，
当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，如图2，CO交GF于H，设DG=x，则OH=x，CH=2-x，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴GF：AB=CH：CO，即GF：5=（2-x）：2，解得GF=$\frac{5}{2}$（2-x），
∴S_矩形DEFG=x•$\frac{5}{2}$（2-x）=-$\frac{5}{2}$x²+5x=-$\frac{5}{2}$（x-1）²+$\frac{5}{2}$，
此时x=1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为$\frac{5}{2}$，
综上所述，当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，矩形的面积最大，如图2，
∵DG=1，
∴DE=$\frac{5}{2}$×（2-1）=$\frac{5}{2}$，
∵DG∥OC，
∴△ADG∽△ACO，
∴AD：AO=DG：OC，即AD：1=1：2，解得AD=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
∴D（-$\frac{1}{2}$，0），E（2，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形；灵活运用相似比计算线段的长．