Question

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（10，0）、（10，3）、（4，3）．点P从原点、点Q 从B点同时出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿BC、以每秒2个单位向终点C运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x秒，求Q点的坐标；
（2）当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？
（3）四边形OPQC能否成为等腰梯形？若成，求出x的值，若不成说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）因为Q沿BC运动，BC∥OA，所以点Q的纵坐标为3，以每秒2个单位运动，所以从出发起运动了x秒，运动了2x，故Q点的坐标横坐标为10-2x，即可得Q点的坐标；
（2）由A、B、C的坐标分别为（10，0）、（10，3）、（4，3）．可得OC=

42-32

=5，BC=10-4=6，OA=10，又由当点Q在BC上，且OP=CQ时，四边形OPQC为平行四边形，即可得方程：x=6-2x，解此方程即可求得答案；
（3）首先过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OP于点F，由当OP=CQ+OE+PF时，四边形OPQC成为等腰梯形，即可得方程：x=4+（6-2x）+4，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵BC∥OA，
∴点Q的纵坐标为3，
∵以每秒2个单位运动，所以从出发起运动了x秒，运动了2x，
∴Q点的坐标横坐标为10-2x，
∴Q点的坐标为（10-2x，3）；

（2）∵A、B、C的坐标分别为（10，0）、（10，3）、（4，3）．
∴OC=

32+42

=5，BC=10-4=6，OA=10，
∵BC∥OA，
∴当点Q在BC上，且OP=CQ时，四边形OPQC为平行四边形，
∴x=6-2x，
解得x=2；
∴当x等于2时，四边形OPQC为平行四边形；

（3）不能，
理由：过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OP于点F，

∵AO∥BC，
∴CE=QF，
当OE=PF=4时，△OCE≌△PQF（SAS），
此时四边形OPQC成为等腰梯形，
即OP=OE+CQ+PF，
∴x=4+（6-2x）+4，
解得x=

14

3

，
∵

14

3

×2=

28

3

＞6，
∴四边形OPQC不能成为等腰梯形．

点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．