Question

10．某校八年级同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？若可行，请证明；
（2）方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；
（3）方案（Ⅱ）中若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？否．（填是或否，不用证明）

Answer 1

分析 （1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，故此时方案（Ⅱ）不成立．

解答 解：（1）方案（Ⅰ）可行；理由如下：
∵DC=AC，EC=BC，
在△ACB和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ACB=∠DCE}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE，
∴测出DE的距离即为AB的长，
故方案（Ⅰ）可行．
（2）方案（Ⅱ）可行；理由如下：
∵AB⊥BC，DE⊥CD
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ACB和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠EDC=90°}\\{BC=DC}\\{∠ACB=∠ECD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∴测出DE的长即为AB的距离，
故方案（Ⅱ）可行．
（3）若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；
理由如下：若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{CD}$，
∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长．
但是此题没有其他条件，可能无法测出其他线段长度，
∴方案（Ⅱ）不成立；
故答案为：否．

点评 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．