Question

13．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上另一点C（n，-1），
（1）求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式．
（2）求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据Rt△AOB面积为3，A（-2，m）即可求出A点的坐标，把A点坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，又知反比例函数图象过C点（n，-1），代入解析式求出n的值，根据题干条件直线y=ax+b经过点A、C，已知两点坐标，列出二元一次方程组解得a和b的值，即可求出直线y=ax+b的解析式；
（2）根据直线的解析式求出与x轴的交点M的坐标，从而得到OM的长度，再根据S_△AOC=S_△AOM+S_△COM，列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵Rt△AOB面积为3，A（-2，m），
∴AB=3，即m=3，
∴A（-2，3），
∵反比例函数为y=$\frac{k}{x}$过点A（-2，3），
∴k=-6，即反比例函数为：y=$\frac{6}{x}$，
∵反比例函数为y=$\frac{6}{x}$过点C（n，-1），
∴n=6，
∴C（6，-1），
∵直线y=ax+b经过点A、C
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=3}\\{6a+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：$y=-\frac{1}{2}x+2$；

（2）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得x=4，
∴点M的坐标为（4，0），
∴OM=4，
S_△AOC=S_△AOM+S_△COM，
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×1，
=8．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了反比例函数解析式系数的几何意义，反比例函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，以及三角形的面积的求解，根据系数的几何意义求出k值是解题的关键．