Question

13．如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠A=60°，P是AB延长线上一动点，联结PC并延长交AD的延长线于点Q，联结BQ交PD于点R
（1）设BP=x，DQ=y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（2）求∠PRQ的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，得出∠DQC=∠BCP，∠QDC=∠CBP=60°，即可得到△QDC∽△PBC，进而得出$\frac{DQ}{BC}=\frac{CD}{PB}$，即$\frac{y}{a}=\frac{a}{x}$，最后得出y与x的函数解析式；
（2）连接BD，根据四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠A=60°，得出∠QDB=∠DBP，再根据$\frac{QD}{BD}$=$\frac{a}{x}$，$\frac{BD}{PB}$=$\frac{a}{x}$，即可得到$\frac{QD}{BD}$=$\frac{BD}{PB}$，进而判定∠QDB∽△DBP，从而得出∠BDP=∠DQB，最后根据∠PRQ是△QDR的外角，即可得出∠PRQ=∠DQB+∠QDR=∠BDP+∠QDR=∠BDQ=120．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠A=60°，
∴CD=BC=a，AD∥BC，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠DQC=∠BCP，∠QDC=∠CBP=60°，
∴△QDC∽△PBC，
∴$\frac{DQ}{BC}=\frac{CD}{PB}$，
即$\frac{y}{a}=\frac{a}{x}$，
∴y=$\frac{{a}^{2}}{x}$（x＞0）；

（2）连接BD，
∵四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠A=60°，
∴∠ABC=∠ADC=120°，∠ADB=∠ABD=60°，BD=AB=a，
∴∠QDB=180°-∠ADB=120°，∠DBP=180°-∠ABD=120°，
∴∠QDB=∠DBP，
又∵$\frac{QD}{BD}$=$\frac{y}{a}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{x}}{a}$=$\frac{a}{x}$，$\frac{BD}{PB}$=$\frac{a}{x}$，
∴$\frac{QD}{BD}$=$\frac{BD}{PB}$，
∴∠QDB∽△DBP，
∴∠BDP=∠DQB，
∵∠PRQ是△QDR的外角，
∴∠PRQ=∠DQB+∠QDR=∠BDP+∠QDR=∠BDQ=120．

点评 本题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．