Question

2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为△ABC外一点，PA=2$\sqrt{2}$，PB=7，PC=3．
（1）求∠APB的度数；
（2）求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）将△APC绕点A顺时针旋转90°，由AB=AC、∠BAC=90°知旋转后点C与点B重合、点P与点Q重合，即△APC≌△AQB，从而得AP=AQ=2$\sqrt{2}$、PC=BQ=3，由勾股定理得PQ=4，根据BQ+PQ=3+4=PB知点B、Q、P三点共线，即可得∠APB=∠APQ=45°；
（2）由△APC≌△AQB知∠APC=∠AQB=180°-∠AQP=135°，继而得∠BPC=∠APC-∠APQ=135°-45°=90°，利用勾股定理求得BC=$\sqrt{B{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{58}$，根据等腰直角三角形的性质得AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{29}$．

解答 解：（1）如图1，将△APC绕点A顺时针旋转90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴旋转后点C与点B重合，点P与点Q重合，
则△APC≌△AQB，
∴AP=AQ=2$\sqrt{2}$，PC=BQ=3，
∵PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}}$=4，
∴BQ+PQ=3+4=PB，
则点B、Q、P三点共线，
∴∠APB=∠APQ=45°；

（2）如图2，

∵△APC≌△AQB，
∴∠APC=∠AQB=180°-∠AQP=135°，
∴∠BPC=∠APC-∠APQ=135°-45°=90°，
∵BP=7，CP=3，
∴BC=$\sqrt{B{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{58}$，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{29}$．

点评 本题主要考查旋转的定义和性质、全等三角形的性质及勾股定理、等腰直角三角形的性质等，利用旋转将分散的三条线段PA、PB、PC融合到一起是解题的关键．