Question

15．如图，在正方形ABCD中，E在CD边上，F在BC边上，AB=1，DE=2CE，BF=FC，BE与DF交于点G，则图中阴影部分（即四边形ABGD）的面积是（　　）

• A． $\frac{9}{14}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{7}{10}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 过点E作EH∥FG．由DE=2CE，BF=FC可知FC=FB=$\frac{1}{2}$，EC=$\frac{1}{3}$，可求得△DFC的面积=$\frac{1}{4}$，由EH∥DF，可得到BF：BH=3：5，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得△BHE的面积=$\frac{5}{36}$，最后根据阴影部分的面积=正方形的面积-△BGF的面积-△DFC的面积计算即可．

解答 解：如图所示，过点E作EH∥FG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=1．
∵DE=2CE，BF=FC，
∴FC=FB=$\frac{1}{2}$，EC=$\frac{1}{3}DC=\frac{1}{3}×1$=$\frac{1}{3}$．
∴${S}_{△DFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$．
∵EH∥DF，
∴$\frac{HC}{FC}=\frac{EC}{CD}=\frac{1}{3}$．
∴$HC=\frac{1}{3}FC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
∴BH=$\frac{5}{6}$．
∴BF：BH=3：5．
∴${S}_{△BHE}=\frac{1}{2}BH•EC=\frac{1}{2}×\frac{5}{6}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{36}$．
∵GF∥EH，
∴△BFG的面积：△BEH的面积=9：25．
∴△BFG的面积：$\frac{5}{36}$=9：25．
∴△BFG的面积=$\frac{1}{20}$．
∴阴影部分的面积=正方形的面积-△BGF的面积-△DFC的面积=1-$\frac{1}{20}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{10}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、三角形的面积公式，利用相似三角形的性质求得△BFG的面积是解题的关键．