Question

15．在数学中，为了简便，记
$\sum_{k=1}^{n}$k=l+2+…（n-1）+n              
$\sum_{k=1}^{n}$（x+k）=（x+1）（ x+2）+…（x+n）
（1）请你用以上记法表示：1+2+3+…+2016=$\sum_{k=1}^{2016}k$：
（2）化简：$\sum_{k=1}^{10}$（x-k）
（3）化简：$\sum_{k=1}^{3}$（x-k）（ x-k-1）
（4）化简：$\sum_{k=1}^{2016}$（x-k）²-$\sum_{k=1}^{2015}$（x-k）²-2016²．

Answer 1

分析 （1）根据题目中信息，可以解答本题；
（2）根据题意，可以化简$\sum_{k=1}^{10}$（x-k）；
（3）根据题意，可以化简$\sum_{k=1}^{3}$（x-k）（ x-k-1）；
（4）根据题意，可以化简$\sum_{k=1}^{2016}$（x-k）²-$\sum_{k=1}^{2015}$（x-k）²-2016²．

解答 解：（1）由题意可得，
1+2+3+…+2016=$\sum_{k=1}^{2016}k$，
故答案为：$\sum_{k=1}^{2016}k$；
（2）$\sum_{k=1}^{10}$（x-k）
=（x-1）+（x-2）+…+（x-10）
=10x-55；
（3）$\sum_{k=1}^{3}$（x-k）（ x-k-1）
=（x-1）（x-1-1）+（x-2）（x-2-1）+（x-3）（x-3-1）
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x²-3x+2+x²-5x+6+x²-7x+12
=3x²-15x+20；
（4）$\sum_{k=1}^{2016}$（x-k）²-$\sum_{k=1}^{2015}$（x-k）²-2016²
=（x-1）²+（x-2）²+…+（x-2015）²+（x-2016）²-[（x-1）²+（x-2）²+…+（x-2015）²]-2016²
=（x-1）²+（x-2）²+…+（x-2015）²+（x-2016）²-（x-1）²-（x-2）²-…-（x-2015）²-2016²
=（x-2016）²-2016²
=x²-4032x．

点评 本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，找出所问题需要的条件．