Question

10．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，求sinα的值．

Answer 1

分析 连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理得到BC=6，再根据垂径定理得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，接着利用勾股定理计算出BE，然后根据正弦的定义求解．

解答 解：连接BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵OD⊥AC，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴sinα=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{6}{2\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了正弦的定义．