Question

20．如图，在△ABC中，AB⊥EC于点E，∠ABC=45°，BD平分∠ABC且与CE交于点F，BE=a，FE=b，点M，N分别是BD，BC上的动点，当MN+MC最小时，此时动点N与点C的距离为b．

Answer 1

分析 根据两点之间线段最短可知：当M与F重合，N点是E点关于BD的对称点时，MN+MC值最小，此时MN+MC=CE，作FN′⊥BC于N′，证得CN′=FN′，然后根据角平分线的性质求得EF=FN′=b，即可求得当MN+MC最小时动点N与点C的距离为b．

解答 解：根据两点之间线段最短可知：当M与F重合，N点是E点关于BD的对称点时，MN+MC值最小，此时MN+MC=CE，
作FN′⊥BC于N′，
∵AB⊥EC于点E，∠ABC=45°，
∴∠BCE=45°，
∴△FN′C是等腰直角三角形，
∴CN′=FN′，
∵BD平分∠ABC，FE⊥AB，FN′⊥BC，
∴EF=FN′=b，
∴CN′=b，
∴当MN+MC最小时动点N与点C的距离为b．
故答案为b．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的判断判定和性质，角平分线的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．