Question

12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN；
（3）若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC=x，AE=y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可证得四边形PMAN是正方形；
（2）由四边形PMAN是正方形，易证得△EPM≌△BPN，即可证得：EM=BN；
（3）首先过P作PF⊥BC于F，易得△PCF是等腰直角三角形，继而证得△APM是等腰直角三角形，可得AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），即可得方程$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∴四边形PMAN是正方形；

（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠PNB=90°}\\{PM=PN}\\{∠MPE=∠NPB}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN；

（3）解：过P作PF⊥BC于F，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，△PCF是等腰直角三角形，
∴AP=AC-PC=$\sqrt{2}$-x，BN=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴EM=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠PAM=45°，∠PMA=90°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），
即$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），
解得：y=1-$\sqrt{2}$x，
∴x的取值范围为0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y=1-$\sqrt{2}$x（0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．