Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB，D、E分别是BC、AC上的点，若AD⊥BE，∠ADB=∠CDE，CE=2，则S_△ADE=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 如图，作CM⊥AC交AD的延长线于M．首先证明△CDE≌△CDM，△ABE≌△CAM，推出AE=CE=CM=2，AM=BE=2$\sqrt{5}$，由△AFE∽△ACM，得$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AM}$=$\frac{EF}{CM}$，推出$\frac{AF}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{EF}{2}$，推出EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，由△ADB∽△EDC，推出$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{EC}$=$\frac{1}{2}$，由BC=4$\sqrt{2}$，推出BD=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，利用勾股定理求出DF，即可求出AD，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作CM⊥AC交AD的延长线于M．

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠DCM=∠DCE=45°，
∵∠ADB=∠EDC，∠ADB=∠MDC，
∴∠EDC=∠MDC，
在△CDE和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠MDC}\\{CD=CD}\\{∠ECD=∠MCD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDM，
∴CE=CM=2，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠CAM+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠CAM，
在△BAE和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAM}\\{∠BAE=∠ACM}\\{∠BAE=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACM，
∴AE=CM=2，BE=AM，AC=AE+CE=4，
在Rt△ACM中，BE=AM=$\sqrt{A{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠EAF=∠CAM，∠AFE=∠ACM，
∴△AFE∽△ACM，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AM}$=$\frac{EF}{CM}$，
∴$\frac{AF}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{EF}{2}$，
∴EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠C，
∴△ADB∽△EDC，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴BD=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△BDF中，DF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$，
∴AD=AF+DF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$•AD•EF=$\frac{1}{2}$$•\frac{4\sqrt{5}}{3}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题用的知识点比较多，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．