Question

15．关于x的一元二次方程x²+（k+1）x+k=0有两个不等实根x₁、x₂．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程两实根x₁、x₂满足x₁=2x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）若方程有两个实数根，则应有△=b²-4ac≥0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；  
（2）利用因式分解法，解得一元二次方程x²+（k+1）x+k=0的两个根，再根据条件x₁=2x₂解得k．

解答 解：（1）∵方程x²+（k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（k+1）²-4k
=k²-2k+1=（k-1）²
∵无论k取何值，（k-1）²为非负数，
即△≥0，
∴方程有x²+（k+1）x+k=0两个实数根；

（2）∵x²+（k+1）x+k=0
∴（x+k）（x+1）=0
∴x=-k或x=-1，
若x₁=-k，则x₂=-1，
∵x₁=2x₂，
∴-k=2×（-1）
∴k=2；
若x₁=-1，则x₂=-k，
∵x₁=2x₂，
∴-1=2×（-k）
∴k=$\frac{1}{2}$；
综上所述，k=2或$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了根与系数的关系，利用根的判别式和因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．