已知抛物线C1:y=ax2经过(1)C1的解析式为y=x2.顶点坐标为(0.0).对称轴为y轴,(2)如图1.直线l:y=kx+2k-2经过定点P.过P的另一直线交抛物线C1于A.B两点．当PA=AB时.求A点坐标,(3)如图2.将C1向下平移h个单位至C2.M在C2图象上.过M作设MD.ME分别交抛物线于D.E．若△MDE的内心在直线y=b上.求证:直线DE一定与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知抛物线C₁：y=ax²经过（-1，1）
（1）C₁的解析式为y=x²，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；
（2）如图1，直线l：y=kx+2k-2经过定点P，过P的另一直线交抛物线C₁于A、B两点．当PA=AB时，求A点坐标；
（3）如图2，将C₁向下平移h（h＞0）个单位至C₂，M（-2，b）在C₂图象上，过M作设MD、ME分别交抛物线于D、E．若△MDE的内心在直线y=b上，求证：直线DE一定与过原点的某条定直线平行．

分析（1）把点的坐标代入抛物线解析式可求得a的值，则可求得抛物线解析式，可求得其顶点坐标和对称轴；
（2）由直线l解析式可求得P点坐标，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由PA=AB和联立直线和抛物线解析式，可求得A的坐标；
（3）过点M作直线l∥x轴，过点D作DF⊥l于F，过点E作EG⊥l于G，设D（x₁，x₁²-h）、E（x₂，x₂²-h），由相似三角形的性质可求得x₁+x₂=4，设直线DE解析式为y=kx+b，把D、E坐标代入可求得k=x₁+x₂=4，可证得结论．

解答解：
（1）∵抛物线C₁：y=ax²经过（-1，1），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=x²，
∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，
故答案为：y=x²；（0，0）；对称轴为y轴；
（2）∵当x=-2时，y=-2，
∴P（-2，-2），
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵PA=PB
∴-2+x₂=2x₁①
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2k-2\\ y={x^2}\end{array}\right.$，整理得x²-kx-2k+2=0
∴x₁+x₂=k ②，x₁x₂=-2k+2 ③
由①得，${x_1}=\frac{k-2}{3}$，代入②③得，$k=-4±3\sqrt{3}$，
∴A点坐标为（$\sqrt{3}-2$，$7-4\sqrt{3}$）或（$-\sqrt{3}-2$，$7+4\sqrt{3}$）；
（3）过点M作直线l∥x轴，过点D作DF⊥l于F，过点E作EG⊥l于G，

设D（x₁，x₁²-h）、E（x₂，x₂²-h），则△MDF∽△MEG，
∴$\frac{{（{x_1}^2-h）-（4-h）}}{{{x_1}+2}}=\frac{{-[（{x_2}^2-h）-（4-h）]}}{{{x_2}+2}}$，得x₁+x₂=4，
设直线DE的解析式为y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}k{x_1}+b={x_1}^2-h\\ k{x_2}+b={x_2}^2-h\end{array}\right.$，得k=x₁+x₂=4
∴直线DE一定与过原点的直线y=4x平行．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、两直线平行、相似三角形的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中根据函数图象的交点整理得到x₁、x₂和k的关系是解题的关键，在（3）用D、E的坐标表示出k是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．