请阅读下面的材料.并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知:如图.△ABC中.AD是角平分线.求证:$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$分析:要证$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.一般只要证BD.DC与AB.AC或BD.AB与DC.AC所在的三角形相似� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，求证：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
分析：要证$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．
在比例式$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$就可以转化为证AE=AC．
（1）证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．（完成以下证明过程）
∴AE=AC等角对等边
∴△BAD∽△BEC，∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{BE}$相似三角形对应边成比例
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
（2）用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求：BD的长．

分析（1）过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，利用两直线平行内错角、同位角相等得到两对角相等，再由AD为角平分线，得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AE=AC，由三角形BAD与三角形BEC相似，由相似得比例，等量代换即可得证；
（2）利用（1）中的结论，求出BD的长即可．

解答（1）证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，
∴∠2=∠3，∠1=∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠E=∠3，
∴AE=AC（等角对等边），
∴△BAD∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AB}{BE}$（相似三角形对应边成比例），
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AB}{AC}$；
故答案为：等角对等边，相似三角形对应边成比例；
（2）解：∵△ABC中，AD是角平分线，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∵AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm，
∴$\frac{5}{4}$=$\frac{BD}{7-BD}$，
解得：BD=$\frac{35}{9}$cm．

点评此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，弄清题中角平分线性质定理是解本题的关键．